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(例 5.1 (2))

∀x (F(x,y) → ∃yG(x,y,z))

⇔ ∀x F(x,y,z) → ∃t G(x,y,z)

定理 10.15 (费马小定理) 如果 p 为素数, 则对所有 n≠0 (mod p) 有 n^{p-1}≡1 (mod p).

证明 对于费马小定理有一个简单的组合证明. 考虑用 n 种颜色对具有 p 颗珠子的手镯进行着色. 这些珠子标记为 1, 2, …, p, 等距离地顺序排列在圆环上, 图 10.4 给出了 5 个珠子的一个实例. 令 θ=2π/p, 当手镯旋转的角度分别等于 θ, 2θ, …, pθ. 由于 p 是素数, 除了 pθ=2π 对应于恒等置换之外, 其他 p-1 个置换都由一个 p 阶轮换构成[a]. 根据 Polya 定理, 不同的着色方案数是

M = frac{1}{p} [n^p + (p-1)n^1] = frac{1}{p}(n^p-n) +n

因为 M 和 n 是正整数, 因此 n^p-n = n(n^{p-1}-1) 能被 p 整除[b], 即

n^{p-1} ≡ 1 (mod p)

一阶逻辑的推理理论远比命题逻辑的推理理论复杂, 这已超出本教材的范围.

有穷集的基数很容易确定, 而无穷集的基数就比较复杂了, 这里不讨论这个问题.

在使用析取连结词时，首先应分析表达的是 相容或 还是 排斥或。若是 相容或，以及 p、q 不能同时为真的 排斥或，均可直接符号化为 p V q 的形式。如果是排斥或，并且 p 与 q 可同时为真，就应符号化为 （p ^ ┐ q）V （ ┐ p ^ q）的形式。

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